98/156 - 150/71 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: 98/156 - 150/71 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: 98/156
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 98 = 2 × 72
- 156 = 22 × 3 × 13
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (98; 156) = 2
98/156 = (98 : 2)/(156 : 2) = 49/78
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
98/156 = (2 × 72)/(22 × 3 × 13) = ((2 × 72) : 2)/((22 × 3 × 13) : 2) = 49/78
Der Bruch: - 150/71
- 150/71 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 150 = 2 × 3 × 52
- 71 ist eine Primzahl
- ggT (2 × 3 × 52; 71) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
98/156 - 150/71 =
49/78 - 150/71
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 150/71
- 150 : 71 = - 2 und der Rest = - 8 ⇒ - 150 = - 2 × 71 - 8
- 150/71 = ( - 2 × 71 - 8)/71 = ( - 2 × 71)/71 - 8/71 = - 2 - 8/71
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
49/78 - 150/71 =
49/78 - 2 - 8/71 =
- 2 + 49/78 - 8/71
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
78 = 2 × 3 × 13
71 ist eine Primzahl
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (78; 71) = 2 × 3 × 13 × 71 = 5.538
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
49/78 ⟶ 5.538 : 78 = (2 × 3 × 13 × 71) : (2 × 3 × 13) = 71
- 8/71 ⟶ 5.538 : 71 = (2 × 3 × 13 × 71) : 71 = 78
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 2 + 49/78 - 8/71 =
- 2 + (71 × 49)/(71 × 78) - (78 × 8)/(78 × 71) =
- 2 + 3.479/5.538 - 624/5.538 =
- 2 + (3.479 - 624)/5.538 =
- 2 + 2.855/5.538
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
2.855/5.538 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 2.855 = 5 × 571
- 5.538 = 2 × 3 × 13 × 71
- ggT (5 × 571; 2 × 3 × 13 × 71) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 2 + 2.855/5.538 =
( - 2 × 5.538)/5.538 + 2.855/5.538 =
( - 2 × 5.538 + 2.855)/5.538 =
- 8.221/5.538
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Teilen Sie den Zähler durch den Nenner und notieren Sie den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt:
- 8.221 : 5.538 = - 1 und der Rest = - 2.683 ⇒
- 8.221 = - 1 × 5.538 - 2.683 ⇒
- 8.221/5.538 =
( - 1 × 5.538 - 2.683)/5.538 =
( - 1 × 5.538)/5.538 - 2.683/5.538 =
- 1 - 2.683/5.538 =
- 1 2.683/5.538
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 1 - 2.683/5.538 =
- 1 - 2.683 : 5.538 ≈
- 1,484470928133 ≈
- 1,48
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.