872/3.444 - 1.289/875 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: 872/3.444 - 1.289/875 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: 872/3.444
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 872 = 23 × 109
- 3.444 = 22 × 3 × 7 × 41
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (872; 3.444) = 22 = 4
872/3.444 = (872 : 4)/(3.444 : 4) = 218/861
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
872/3.444 = (23 × 109)/(22 × 3 × 7 × 41) = ((23 × 109) : 22 )/((22 × 3 × 7 × 41) : 22 ) = 218/861
Der Bruch: - 1.289/875
- 1.289/875 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 1.289 ist eine Primzahl
- 875 = 53 × 7
- ggT (1.289; 53 × 7) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
872/3.444 - 1.289/875 =
218/861 - 1.289/875
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 1.289/875
- 1.289 : 875 = - 1 und der Rest = - 414 ⇒ - 1.289 = - 1 × 875 - 414
- 1.289/875 = ( - 1 × 875 - 414)/875 = ( - 1 × 875)/875 - 414/875 = - 1 - 414/875
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
218/861 - 1.289/875 =
218/861 - 1 - 414/875 =
- 1 + 218/861 - 414/875
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
861 = 3 × 7 × 41
875 = 53 × 7
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (861; 875) = 3 × 53 × 7 × 41 = 107.625
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
218/861 ⟶ 107.625 : 861 = (3 × 53 × 7 × 41) : (3 × 7 × 41) = 125
- 414/875 ⟶ 107.625 : 875 = (3 × 53 × 7 × 41) : (53 × 7) = 123
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 1 + 218/861 - 414/875 =
- 1 + (125 × 218)/(125 × 861) - (123 × 414)/(123 × 875) =
- 1 + 27.250/107.625 - 50.922/107.625 =
- 1 + (27.250 - 50.922)/107.625 =
- 1 - 23.672/107.625
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 23.672/107.625 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 23.672 = 23 × 11 × 269
- 107.625 = 3 × 53 × 7 × 41
- ggT (23 × 11 × 269; 3 × 53 × 7 × 41) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 1 - 23.672/107.625 = - 1 23.672/107.625
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 1 - 23.672/107.625 =
( - 1 × 107.625)/107.625 - 23.672/107.625 =
( - 1 × 107.625 - 23.672)/107.625 =
- 131.297/107.625
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 1 - 23.672/107.625 =
- 1 - 23.672 : 107.625 ≈
- 1,219948896632 ≈
- 1,22
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.