87/45 + 69/91 - 83/1.773 + 87/34 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: 87/45 + 69/91 - 83/1.773 + 87/34 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: 87/45
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 87 = 3 × 29
- 45 = 32 × 5
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (87; 45) = 3
87/45 = (87 : 3)/(45 : 3) = 29/15
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
87/45 = (3 × 29)/(32 × 5) = ((3 × 29) : 3)/((32 × 5) : 3) = 29/15
Der Bruch: 69/91
69/91 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 69 = 3 × 23
- 91 = 7 × 13
- ggT (3 × 23; 7 × 13) = 1
Der Bruch: - 83/1.773
- 83/1.773 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 83 ist eine Primzahl
- 1.773 = 32 × 197
- ggT (83; 32 × 197) = 1
Der Bruch: 87/34
87/34 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 87 = 3 × 29
- 34 = 2 × 17
- ggT (3 × 29; 2 × 17) = 1
Interner Link » Kürzen Sie Brüche auf ihre Grunddarstellung (auf ihre einfachste äquivalente Form), Online-Rechner
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
87/45 + 69/91 - 83/1.773 + 87/34 =
29/15 + 69/91 - 83/1.773 + 87/34
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 29/15
29 : 15 = 1 und der Rest = 14 ⇒ 29 = 1 × 15 + 14
29/15 = (1 × 15 + 14)/15 = (1 × 15)/15 + 14/15 = 1 + 14/15
Der Bruch: 87/34
87 : 34 = 2 und der Rest = 19 ⇒ 87 = 2 × 34 + 19
87/34 = (2 × 34 + 19)/34 = (2 × 34)/34 + 19/34 = 2 + 19/34
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
29/15 + 69/91 - 83/1.773 + 87/34 =
1 + 14/15 + 69/91 - 83/1.773 + 2 + 19/34 =
3 + 14/15 + 69/91 - 83/1.773 + 19/34
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
15 = 3 × 5
91 = 7 × 13
1.773 = 32 × 197
34 = 2 × 17
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (15; 91; 1.773; 34) = 2 × 32 × 5 × 7 × 13 × 17 × 197 = 27.428.310
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
14/15 ⟶ 27.428.310 : 15 = (2 × 32 × 5 × 7 × 13 × 17 × 197) : (3 × 5) = 1.828.554
69/91 ⟶ 27.428.310 : 91 = (2 × 32 × 5 × 7 × 13 × 17 × 197) : (7 × 13) = 301.410
- 83/1.773 ⟶ 27.428.310 : 1.773 = (2 × 32 × 5 × 7 × 13 × 17 × 197) : (32 × 197) = 15.470
19/34 ⟶ 27.428.310 : 34 = (2 × 32 × 5 × 7 × 13 × 17 × 197) : (2 × 17) = 806.715
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
3 + 14/15 + 69/91 - 83/1.773 + 19/34 =
3 + (1.828.554 × 14)/(1.828.554 × 15) + (301.410 × 69)/(301.410 × 91) - (15.470 × 83)/(15.470 × 1.773) + (806.715 × 19)/(806.715 × 34) =
3 + 25.599.756/27.428.310 + 20.797.290/27.428.310 - 1.284.010/27.428.310 + 15.327.585/27.428.310 =
3 + (25.599.756 + 20.797.290 - 1.284.010 + 15.327.585)/27.428.310 =
3 + 60.440.621/27.428.310
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
60.440.621/27.428.310 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 60.440.621 ist eine Primzahl
- 27.428.310 = 2 × 32 × 5 × 7 × 13 × 17 × 197
- ggT (60.440.621; 2 × 32 × 5 × 7 × 13 × 17 × 197) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
3 + 60.440.621/27.428.310 =
(3 × 27.428.310)/27.428.310 + 60.440.621/27.428.310 =
(3 × 27.428.310 + 60.440.621)/27.428.310 =
142.725.551/27.428.310
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Teilen Sie den Zähler durch den Nenner und notieren Sie den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt:
142.725.551 : 27.428.310 = 5 und der Rest = 5.584.001 ⇒
142.725.551 = 5 × 27.428.310 + 5.584.001 ⇒
142.725.551/27.428.310 =
(5 × 27.428.310 + 5.584.001)/27.428.310 =
(5 × 27.428.310)/27.428.310 + 5.584.001/27.428.310 =
5 + 5.584.001/27.428.310 =
5 5.584.001/27.428.310
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
5 + 5.584.001/27.428.310 =
5 + 5.584.001 : 27.428.310 ≈
5,203585310214 ≈
5,2
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.