78/2.988 - 117/23 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: 78/2.988 - 117/23 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: 78/2.988
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 78 = 2 × 3 × 13
- 2.988 = 22 × 32 × 83
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (78; 2.988) = 2 × 3 = 6
78/2.988 = (78 : 6)/(2.988 : 6) = 13/498
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
78/2.988 = (2 × 3 × 13)/(22 × 32 × 83) = ((2 × 3 × 13) : (2 × 3))/((22 × 32 × 83) : (2 × 3)) = 13/498
Der Bruch: - 117/23
- 117/23 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 117 = 32 × 13
- 23 ist eine Primzahl
- ggT (32 × 13; 23) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
78/2.988 - 117/23 =
13/498 - 117/23
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 117/23
- 117 : 23 = - 5 und der Rest = - 2 ⇒ - 117 = - 5 × 23 - 2
- 117/23 = ( - 5 × 23 - 2)/23 = ( - 5 × 23)/23 - 2/23 = - 5 - 2/23
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
13/498 - 117/23 =
13/498 - 5 - 2/23 =
- 5 + 13/498 - 2/23
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
498 = 2 × 3 × 83
23 ist eine Primzahl
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (498; 23) = 2 × 3 × 23 × 83 = 11.454
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
13/498 ⟶ 11.454 : 498 = (2 × 3 × 23 × 83) : (2 × 3 × 83) = 23
- 2/23 ⟶ 11.454 : 23 = (2 × 3 × 23 × 83) : 23 = 498
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 5 + 13/498 - 2/23 =
- 5 + (23 × 13)/(23 × 498) - (498 × 2)/(498 × 23) =
- 5 + 299/11.454 - 996/11.454 =
- 5 + (299 - 996)/11.454 =
- 5 - 697/11.454
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 697/11.454 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 697 = 17 × 41
- 11.454 = 2 × 3 × 23 × 83
- ggT (17 × 41; 2 × 3 × 23 × 83) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 5 - 697/11.454 = - 5 697/11.454
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 5 - 697/11.454 =
( - 5 × 11.454)/11.454 - 697/11.454 =
( - 5 × 11.454 - 697)/11.454 =
- 57.967/11.454
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 5 - 697/11.454 =
- 5 - 697 : 11.454 ≈
- 5,060852104068 ≈
- 5,06
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.