654/3.135 - 983/658 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: 654/3.135 - 983/658 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: 654/3.135
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 654 = 2 × 3 × 109
- 3.135 = 3 × 5 × 11 × 19
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (654; 3.135) = 3
654/3.135 = (654 : 3)/(3.135 : 3) = 218/1.045
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
654/3.135 = (2 × 3 × 109)/(3 × 5 × 11 × 19) = ((2 × 3 × 109) : 3)/((3 × 5 × 11 × 19) : 3) = 218/1.045
Der Bruch: - 983/658
- 983/658 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 983 ist eine Primzahl
- 658 = 2 × 7 × 47
- ggT (983; 2 × 7 × 47) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
654/3.135 - 983/658 =
218/1.045 - 983/658
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 983/658
- 983 : 658 = - 1 und der Rest = - 325 ⇒ - 983 = - 1 × 658 - 325
- 983/658 = ( - 1 × 658 - 325)/658 = ( - 1 × 658)/658 - 325/658 = - 1 - 325/658
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
218/1.045 - 983/658 =
218/1.045 - 1 - 325/658 =
- 1 + 218/1.045 - 325/658
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
1.045 = 5 × 11 × 19
658 = 2 × 7 × 47
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (1.045; 658) = 2 × 5 × 7 × 11 × 19 × 47 = 687.610
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
218/1.045 ⟶ 687.610 : 1.045 = (2 × 5 × 7 × 11 × 19 × 47) : (5 × 11 × 19) = 658
- 325/658 ⟶ 687.610 : 658 = (2 × 5 × 7 × 11 × 19 × 47) : (2 × 7 × 47) = 1.045
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 1 + 218/1.045 - 325/658 =
- 1 + (658 × 218)/(658 × 1.045) - (1.045 × 325)/(1.045 × 658) =
- 1 + 143.444/687.610 - 339.625/687.610 =
- 1 + (143.444 - 339.625)/687.610 =
- 1 - 196.181/687.610
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 196.181/687.610 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 196.181 ist eine Primzahl
- 687.610 = 2 × 5 × 7 × 11 × 19 × 47
- ggT (196.181; 2 × 5 × 7 × 11 × 19 × 47) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 1 - 196.181/687.610 = - 1 196.181/687.610
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 1 - 196.181/687.610 =
( - 1 × 687.610)/687.610 - 196.181/687.610 =
( - 1 × 687.610 - 196.181)/687.610 =
- 883.791/687.610
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 1 - 196.181/687.610 =
- 1 - 196.181 : 687.610 ≈
- 1,285308532453 ≈
- 1,29
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.