414/3.147 - 609/398 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: 414/3.147 - 609/398 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: 414/3.147
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 414 = 2 × 32 × 23
- 3.147 = 3 × 1.049
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (414; 3.147) = 3
414/3.147 = (414 : 3)/(3.147 : 3) = 138/1.049
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
414/3.147 = (2 × 32 × 23)/(3 × 1.049) = ((2 × 32 × 23) : 3)/((3 × 1.049) : 3) = 138/1.049
Der Bruch: - 609/398
- 609/398 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 609 = 3 × 7 × 29
- 398 = 2 × 199
- ggT (3 × 7 × 29; 2 × 199) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
414/3.147 - 609/398 =
138/1.049 - 609/398
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 609/398
- 609 : 398 = - 1 und der Rest = - 211 ⇒ - 609 = - 1 × 398 - 211
- 609/398 = ( - 1 × 398 - 211)/398 = ( - 1 × 398)/398 - 211/398 = - 1 - 211/398
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
138/1.049 - 609/398 =
138/1.049 - 1 - 211/398 =
- 1 + 138/1.049 - 211/398
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
1.049 ist eine Primzahl
398 = 2 × 199
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (1.049; 398) = 2 × 199 × 1.049 = 417.502
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
138/1.049 ⟶ 417.502 : 1.049 = (2 × 199 × 1.049) : 1.049 = 398
- 211/398 ⟶ 417.502 : 398 = (2 × 199 × 1.049) : (2 × 199) = 1.049
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 1 + 138/1.049 - 211/398 =
- 1 + (398 × 138)/(398 × 1.049) - (1.049 × 211)/(1.049 × 398) =
- 1 + 54.924/417.502 - 221.339/417.502 =
- 1 + (54.924 - 221.339)/417.502 =
- 1 - 166.415/417.502
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 166.415/417.502 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 166.415 = 5 × 83 × 401
- 417.502 = 2 × 199 × 1.049
- ggT (5 × 83 × 401; 2 × 199 × 1.049) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 1 - 166.415/417.502 = - 1 166.415/417.502
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 1 - 166.415/417.502 =
( - 1 × 417.502)/417.502 - 166.415/417.502 =
( - 1 × 417.502 - 166.415)/417.502 =
- 583.917/417.502
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 1 - 166.415/417.502 =
- 1 - 166.415 : 417.502 ≈
- 1,398596892949 ≈
- 1,4
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.