- 956/3.582 + 1.421/974 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 956/3.582 + 1.421/974 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 956/3.582
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 956 = 22 × 239
- 3.582 = 2 × 32 × 199
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (956; 3.582) = 2
- 956/3.582 = - (956 : 2)/(3.582 : 2) = - 478/1.791
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 956/3.582 = - (22 × 239)/(2 × 32 × 199) = - ((22 × 239) : 2)/((2 × 32 × 199) : 2) = - 478/1.791
Der Bruch: 1.421/974
1.421/974 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 1.421 = 72 × 29
- 974 = 2 × 487
- ggT (72 × 29; 2 × 487) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 956/3.582 + 1.421/974 =
- 478/1.791 + 1.421/974
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 1.421/974
1.421 : 974 = 1 und der Rest = 447 ⇒ 1.421 = 1 × 974 + 447
1.421/974 = (1 × 974 + 447)/974 = (1 × 974)/974 + 447/974 = 1 + 447/974
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 478/1.791 + 1.421/974 =
- 478/1.791 + 1 + 447/974 =
1 - 478/1.791 + 447/974
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
1.791 = 32 × 199
974 = 2 × 487
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (1.791; 974) = 2 × 32 × 199 × 487 = 1.744.434
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 478/1.791 ⟶ 1.744.434 : 1.791 = (2 × 32 × 199 × 487) : (32 × 199) = 974
447/974 ⟶ 1.744.434 : 974 = (2 × 32 × 199 × 487) : (2 × 487) = 1.791
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
1 - 478/1.791 + 447/974 =
1 - (974 × 478)/(974 × 1.791) + (1.791 × 447)/(1.791 × 974) =
1 - 465.572/1.744.434 + 800.577/1.744.434 =
1 + ( - 465.572 + 800.577)/1.744.434 =
1 + 335.005/1.744.434
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
335.005/1.744.434 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 335.005 = 5 × 11 × 6.091
- 1.744.434 = 2 × 32 × 199 × 487
- ggT (5 × 11 × 6.091; 2 × 32 × 199 × 487) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
1 + 335.005/1.744.434 = 1 335.005/1.744.434
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
1 + 335.005/1.744.434 =
(1 × 1.744.434)/1.744.434 + 335.005/1.744.434 =
(1 × 1.744.434 + 335.005)/1.744.434 =
2.079.439/1.744.434
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
1 + 335.005/1.744.434 =
1 + 335.005 : 1.744.434 ≈
1,19204223261 ≈
1,19
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.