- 425/6.970 - 41.567/305 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 425/6.970 - 41.567/305 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 425/6.970
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 425 = 52 × 17
- 6.970 = 2 × 5 × 17 × 41
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (425; 6.970) = 5 × 17 = 85
- 425/6.970 = - (425 : 85)/(6.970 : 85) = - 5/82
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 425/6.970 = - (52 × 17)/(2 × 5 × 17 × 41) = - ((52 × 17) : (5 × 17))/((2 × 5 × 17 × 41) : (5 × 17)) = - 5/82
Der Bruch: - 41.567/305
- 41.567/305 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 41.567 = 197 × 211
- 305 = 5 × 61
- ggT (197 × 211; 5 × 61) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 425/6.970 - 41.567/305 =
- 5/82 - 41.567/305
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 41.567/305
- 41.567 : 305 = - 136 und der Rest = - 87 ⇒ - 41.567 = - 136 × 305 - 87
- 41.567/305 = ( - 136 × 305 - 87)/305 = ( - 136 × 305)/305 - 87/305 = - 136 - 87/305
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 5/82 - 41.567/305 =
- 5/82 - 136 - 87/305 =
- 136 - 5/82 - 87/305
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
82 = 2 × 41
305 = 5 × 61
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (82; 305) = 2 × 5 × 41 × 61 = 25.010
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 5/82 ⟶ 25.010 : 82 = (2 × 5 × 41 × 61) : (2 × 41) = 305
- 87/305 ⟶ 25.010 : 305 = (2 × 5 × 41 × 61) : (5 × 61) = 82
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 136 - 5/82 - 87/305 =
- 136 - (305 × 5)/(305 × 82) - (82 × 87)/(82 × 305) =
- 136 - 1.525/25.010 - 7.134/25.010 =
- 136 + ( - 1.525 - 7.134)/25.010 =
- 136 - 8.659/25.010
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 8.659/25.010 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 8.659 = 7 × 1.237
- 25.010 = 2 × 5 × 41 × 61
- ggT (7 × 1.237; 2 × 5 × 41 × 61) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 136 - 8.659/25.010 = - 136 8.659/25.010
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 136 - 8.659/25.010 =
( - 136 × 25.010)/25.010 - 8.659/25.010 =
( - 136 × 25.010 - 8.659)/25.010 =
- 3.410.019/25.010
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 136 - 8.659/25.010 =
- 136 - 8.659 : 25.010 ≈
- 136,346221511395 ≈
- 136,35
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.