- 418/3.140 - 605/409 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 418/3.140 - 605/409 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 418/3.140
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 418 = 2 × 11 × 19
- 3.140 = 22 × 5 × 157
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (418; 3.140) = 2
- 418/3.140 = - (418 : 2)/(3.140 : 2) = - 209/1.570
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 418/3.140 = - (2 × 11 × 19)/(22 × 5 × 157) = - ((2 × 11 × 19) : 2)/((22 × 5 × 157) : 2) = - 209/1.570
Der Bruch: - 605/409
- 605/409 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 605 = 5 × 112
- 409 ist eine Primzahl
- ggT (5 × 112; 409) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 418/3.140 - 605/409 =
- 209/1.570 - 605/409
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 605/409
- 605 : 409 = - 1 und der Rest = - 196 ⇒ - 605 = - 1 × 409 - 196
- 605/409 = ( - 1 × 409 - 196)/409 = ( - 1 × 409)/409 - 196/409 = - 1 - 196/409
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 209/1.570 - 605/409 =
- 209/1.570 - 1 - 196/409 =
- 1 - 209/1.570 - 196/409
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
1.570 = 2 × 5 × 157
409 ist eine Primzahl
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (1.570; 409) = 2 × 5 × 157 × 409 = 642.130
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 209/1.570 ⟶ 642.130 : 1.570 = (2 × 5 × 157 × 409) : (2 × 5 × 157) = 409
- 196/409 ⟶ 642.130 : 409 = (2 × 5 × 157 × 409) : 409 = 1.570
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 1 - 209/1.570 - 196/409 =
- 1 - (409 × 209)/(409 × 1.570) - (1.570 × 196)/(1.570 × 409) =
- 1 - 85.481/642.130 - 307.720/642.130 =
- 1 + ( - 85.481 - 307.720)/642.130 =
- 1 - 393.201/642.130
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 393.201/642.130 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 393.201 = 33 × 14.563
- 642.130 = 2 × 5 × 157 × 409
- ggT (33 × 14.563; 2 × 5 × 157 × 409) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 1 - 393.201/642.130 = - 1 393.201/642.130
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 1 - 393.201/642.130 =
( - 1 × 642.130)/642.130 - 393.201/642.130 =
( - 1 × 642.130 - 393.201)/642.130 =
- 1.035.331/642.130
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 1 - 393.201/642.130 =
- 1 - 393.201 : 642.130 ≈
- 1,61233862302 ≈
- 1,61
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.