- 412/7.104 - 616/345 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 412/7.104 - 616/345 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 412/7.104
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 412 = 22 × 103
- 7.104 = 26 × 3 × 37
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (412; 7.104) = 22 = 4
- 412/7.104 = - (412 : 4)/(7.104 : 4) = - 103/1.776
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 412/7.104 = - (22 × 103)/(26 × 3 × 37) = - ((22 × 103) : 22 )/((26 × 3 × 37) : 22 ) = - 103/1.776
Der Bruch: - 616/345
- 616/345 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 616 = 23 × 7 × 11
- 345 = 3 × 5 × 23
- ggT (23 × 7 × 11; 3 × 5 × 23) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 412/7.104 - 616/345 =
- 103/1.776 - 616/345
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 616/345
- 616 : 345 = - 1 und der Rest = - 271 ⇒ - 616 = - 1 × 345 - 271
- 616/345 = ( - 1 × 345 - 271)/345 = ( - 1 × 345)/345 - 271/345 = - 1 - 271/345
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 103/1.776 - 616/345 =
- 103/1.776 - 1 - 271/345 =
- 1 - 103/1.776 - 271/345
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
1.776 = 24 × 3 × 37
345 = 3 × 5 × 23
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (1.776; 345) = 24 × 3 × 5 × 23 × 37 = 204.240
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 103/1.776 ⟶ 204.240 : 1.776 = (24 × 3 × 5 × 23 × 37) : (24 × 3 × 37) = 115
- 271/345 ⟶ 204.240 : 345 = (24 × 3 × 5 × 23 × 37) : (3 × 5 × 23) = 592
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 1 - 103/1.776 - 271/345 =
- 1 - (115 × 103)/(115 × 1.776) - (592 × 271)/(592 × 345) =
- 1 - 11.845/204.240 - 160.432/204.240 =
- 1 + ( - 11.845 - 160.432)/204.240 =
- 1 - 172.277/204.240
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 172.277/204.240 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 172.277 = 7 × 24.611
- 204.240 = 24 × 3 × 5 × 23 × 37
- ggT (7 × 24.611; 24 × 3 × 5 × 23 × 37) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 1 - 172.277/204.240 = - 1 172.277/204.240
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 1 - 172.277/204.240 =
( - 1 × 204.240)/204.240 - 172.277/204.240 =
( - 1 × 204.240 - 172.277)/204.240 =
- 376.517/204.240
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 1 - 172.277/204.240 =
- 1 - 172.277 : 204.240 ≈
- 1,843502741872 ≈
- 1,84
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.