- 23/13 + 362/15 + 24/12 + 561/19 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 23/13 + 362/15 + 24/12 + 561/19 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 23/13
- 23/13 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 23 ist eine Primzahl
- 13 ist eine Primzahl
- ggT (23; 13) = 1
Der Bruch: 362/15
362/15 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 362 = 2 × 181
- 15 = 3 × 5
- ggT (2 × 181; 3 × 5) = 1
Der Bruch: 24/12
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 24 = 23 × 3
- 12 = 22 × 3
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (24; 12) = 22 × 3 = 12
24/12 = (24 : 12)/(12 : 12) = 2/1 = 2
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
24/12 = (23 × 3)/(22 × 3) = ((23 × 3) : (22 × 3))/((22 × 3) : (22 × 3)) = 2/1 = 2
Der Bruch: 561/19
561/19 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 561 = 3 × 11 × 17
- 19 ist eine Primzahl
- ggT (3 × 11 × 17; 19) = 1
Interner Link » Kürzen Sie Brüche auf ihre Grunddarstellung (auf ihre einfachste äquivalente Form), Online-Rechner
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 23/13 + 362/15 + 24/12 + 561/19 =
- 23/13 + 362/15 + 2 + 561/19 =
2 - 23/13 + 362/15 + 561/19
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 23/13
- 23 : 13 = - 1 und der Rest = - 10 ⇒ - 23 = - 1 × 13 - 10
- 23/13 = ( - 1 × 13 - 10)/13 = ( - 1 × 13)/13 - 10/13 = - 1 - 10/13
Der Bruch: 362/15
362 : 15 = 24 und der Rest = 2 ⇒ 362 = 24 × 15 + 2
362/15 = (24 × 15 + 2)/15 = (24 × 15)/15 + 2/15 = 24 + 2/15
Der Bruch: 561/19
561 : 19 = 29 und der Rest = 10 ⇒ 561 = 29 × 19 + 10
561/19 = (29 × 19 + 10)/19 = (29 × 19)/19 + 10/19 = 29 + 10/19
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
2 - 23/13 + 362/15 + 561/19 =
2 - 1 - 10/13 + 24 + 2/15 + 29 + 10/19 =
54 - 10/13 + 2/15 + 10/19
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
13 ist eine Primzahl
15 = 3 × 5
19 ist eine Primzahl
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (13; 15; 19) = 3 × 5 × 13 × 19 = 3.705
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 10/13 ⟶ 3.705 : 13 = (3 × 5 × 13 × 19) : 13 = 285
2/15 ⟶ 3.705 : 15 = (3 × 5 × 13 × 19) : (3 × 5) = 247
10/19 ⟶ 3.705 : 19 = (3 × 5 × 13 × 19) : 19 = 195
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
54 - 10/13 + 2/15 + 10/19 =
54 - (285 × 10)/(285 × 13) + (247 × 2)/(247 × 15) + (195 × 10)/(195 × 19) =
54 - 2.850/3.705 + 494/3.705 + 1.950/3.705 =
54 + ( - 2.850 + 494 + 1.950)/3.705 =
54 - 406/3.705
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 406/3.705 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 406 = 2 × 7 × 29
- 3.705 = 3 × 5 × 13 × 19
- ggT (2 × 7 × 29; 3 × 5 × 13 × 19) = 1
Interner Link » Kürzen Sie Brüche auf ihre Grunddarstellung (auf ihre einfachste äquivalente Form), Online-Rechner
Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
54 - 406/3.705 =
(54 × 3.705)/3.705 - 406/3.705 =
(54 × 3.705 - 406)/3.705 =
199.664/3.705
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Teilen Sie den Zähler durch den Nenner und notieren Sie den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt:
199.664 : 3.705 = 53 und der Rest = 3.299 ⇒
199.664 = 53 × 3.705 + 3.299 ⇒
199.664/3.705 =
(53 × 3.705 + 3.299)/3.705 =
(53 × 3.705)/3.705 + 3.299/3.705 =
53 + 3.299/3.705 =
53 3.299/3.705
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
53 + 3.299/3.705 =
53 + 3.299 : 3.705 ≈
53,890418353576 ≈
53,89
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.