- 198/114 - 128/222 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 198/114 - 128/222 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 198/114
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 198 = 2 × 32 × 11
- 114 = 2 × 3 × 19
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (198; 114) = 2 × 3 = 6
- 198/114 = - (198 : 6)/(114 : 6) = - 33/19
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 198/114 = - (2 × 32 × 11)/(2 × 3 × 19) = - ((2 × 32 × 11) : (2 × 3))/((2 × 3 × 19) : (2 × 3)) = - 33/19
Der Bruch: - 128/222
- 128 = 27
- 222 = 2 × 3 × 37
- ggT (128; 222) = 2
- 128/222 = - (128 : 2)/(222 : 2) = - 64/111
- Wir hätten den Bruch kürzen können, ohne den GCF zu berechnen. Zerlegen Sie einfach Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie die gemeinsamen.
- 128/222 = - 27/(2 × 3 × 37) = - (27 : 2)/((2 × 3 × 37) : 2) = - 64/111
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 198/114 - 128/222 =
- 33/19 - 64/111
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 33/19
- 33 : 19 = - 1 und der Rest = - 14 ⇒ - 33 = - 1 × 19 - 14
- 33/19 = ( - 1 × 19 - 14)/19 = ( - 1 × 19)/19 - 14/19 = - 1 - 14/19
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 33/19 - 64/111 =
- 1 - 14/19 - 64/111
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
19 ist eine Primzahl
111 = 3 × 37
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (19; 111) = 3 × 19 × 37 = 2.109
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 14/19 ⟶ 2.109 : 19 = (3 × 19 × 37) : 19 = 111
- 64/111 ⟶ 2.109 : 111 = (3 × 19 × 37) : (3 × 37) = 19
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 1 - 14/19 - 64/111 =
- 1 - (111 × 14)/(111 × 19) - (19 × 64)/(19 × 111) =
- 1 - 1.554/2.109 - 1.216/2.109 =
- 1 + ( - 1.554 - 1.216)/2.109 =
- 1 - 2.770/2.109
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 2.770/2.109 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 2.770 = 2 × 5 × 277
- 2.109 = 3 × 19 × 37
- ggT (2 × 5 × 277; 3 × 19 × 37) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 1 - 2.770/2.109 =
( - 1 × 2.109)/2.109 - 2.770/2.109 =
( - 1 × 2.109 - 2.770)/2.109 =
- 4.879/2.109
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Teilen Sie den Zähler durch den Nenner und notieren Sie den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt:
- 4.879 : 2.109 = - 2 und der Rest = - 661 ⇒
- 4.879 = - 2 × 2.109 - 661 ⇒
- 4.879/2.109 =
( - 2 × 2.109 - 661)/2.109 =
( - 2 × 2.109)/2.109 - 661/2.109 =
- 2 - 661/2.109 =
- 2 661/2.109
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 2 - 661/2.109 =
- 2 - 661 : 2.109 ≈
- 2,31341868184 ≈
- 2,31
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.