- 1.581/39 + 82/93.021 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 1.581/39 + 82/93.021 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 1.581/39
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 1.581 = 3 × 17 × 31
- 39 = 3 × 13
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (1.581; 39) = 3
- 1.581/39 = - (1.581 : 3)/(39 : 3) = - 527/13
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 1.581/39 = - (3 × 17 × 31)/(3 × 13) = - ((3 × 17 × 31) : 3)/((3 × 13) : 3) = - 527/13
Der Bruch: 82/93.021
82/93.021 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 82 = 2 × 41
- 93.021 = 3 × 101 × 307
- ggT (2 × 41; 3 × 101 × 307) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.581/39 + 82/93.021 =
- 527/13 + 82/93.021
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: - 527/13
- 527 : 13 = - 40 und der Rest = - 7 ⇒ - 527 = - 40 × 13 - 7
- 527/13 = ( - 40 × 13 - 7)/13 = ( - 40 × 13)/13 - 7/13 = - 40 - 7/13
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 527/13 + 82/93.021 =
- 40 - 7/13 + 82/93.021
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
13 ist eine Primzahl
93.021 = 3 × 101 × 307
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (13; 93.021) = 3 × 13 × 101 × 307 = 1.209.273
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 7/13 ⟶ 1.209.273 : 13 = (3 × 13 × 101 × 307) : 13 = 93.021
82/93.021 ⟶ 1.209.273 : 93.021 = (3 × 13 × 101 × 307) : (3 × 101 × 307) = 13
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
- 40 - 7/13 + 82/93.021 =
- 40 - (93.021 × 7)/(93.021 × 13) + (13 × 82)/(13 × 93.021) =
- 40 - 651.147/1.209.273 + 1.066/1.209.273 =
- 40 + ( - 651.147 + 1.066)/1.209.273 =
- 40 - 650.081/1.209.273
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
- 650.081/1.209.273 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 650.081 ist eine Primzahl
- 1.209.273 = 3 × 13 × 101 × 307
- ggT (650.081; 3 × 13 × 101 × 307) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- 40 - 650.081/1.209.273 = - 40 650.081/1.209.273
Als negativen unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- 40 - 650.081/1.209.273 =
( - 40 × 1.209.273)/1.209.273 - 650.081/1.209.273 =
( - 40 × 1.209.273 - 650.081)/1.209.273 =
- 49.021.001/1.209.273
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
- 40 - 650.081/1.209.273 =
- 40 - 650.081 : 1.209.273 ≈
- 40,537580017085 ≈
- 40,54
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.