- 1.540/4.429 + 2.217/1.527 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 1.540/4.429 + 2.217/1.527 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 1.540/4.429
- 1.540/4.429 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 1.540 = 22 × 5 × 7 × 11
- 4.429 = 43 × 103
- ggT (22 × 5 × 7 × 11; 43 × 103) = 1
Der Bruch: 2.217/1.527
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 2.217 = 3 × 739
- 1.527 = 3 × 509
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (2.217; 1.527) = 3
2.217/1.527 = (2.217 : 3)/(1.527 : 3) = 739/509
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
2.217/1.527 = (3 × 739)/(3 × 509) = ((3 × 739) : 3)/((3 × 509) : 3) = 739/509
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.540/4.429 + 2.217/1.527 =
- 1.540/4.429 + 739/509
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 739/509
739 : 509 = 1 und der Rest = 230 ⇒ 739 = 1 × 509 + 230
739/509 = (1 × 509 + 230)/509 = (1 × 509)/509 + 230/509 = 1 + 230/509
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.540/4.429 + 739/509 =
- 1.540/4.429 + 1 + 230/509 =
1 - 1.540/4.429 + 230/509
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
4.429 = 43 × 103
509 ist eine Primzahl
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (4.429; 509) = 43 × 103 × 509 = 2.254.361
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 1.540/4.429 ⟶ 2.254.361 : 4.429 = (43 × 103 × 509) : (43 × 103) = 509
230/509 ⟶ 2.254.361 : 509 = (43 × 103 × 509) : 509 = 4.429
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
1 - 1.540/4.429 + 230/509 =
1 - (509 × 1.540)/(509 × 4.429) + (4.429 × 230)/(4.429 × 509) =
1 - 783.860/2.254.361 + 1.018.670/2.254.361 =
1 + ( - 783.860 + 1.018.670)/2.254.361 =
1 + 234.810/2.254.361
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
234.810/2.254.361 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 234.810 = 2 × 32 × 5 × 2.609
- 2.254.361 = 43 × 103 × 509
- ggT (2 × 32 × 5 × 2.609; 43 × 103 × 509) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
1 + 234.810/2.254.361 = 1 234.810/2.254.361
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
1 + 234.810/2.254.361 =
(1 × 2.254.361)/2.254.361 + 234.810/2.254.361 =
(1 × 2.254.361 + 234.810)/2.254.361 =
2.489.171/2.254.361
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
1 + 234.810/2.254.361 =
1 + 234.810 : 2.254.361 ≈
1,10415811842 ≈
1,1
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.