- 1.540/4.410 + 2.185/1.541 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 1.540/4.410 + 2.185/1.541 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 1.540/4.410
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 1.540 = 22 × 5 × 7 × 11
- 4.410 = 2 × 32 × 5 × 72
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (1.540; 4.410) = 2 × 5 × 7 = 70
- 1.540/4.410 = - (1.540 : 70)/(4.410 : 70) = - 22/63
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 1.540/4.410 = - (22 × 5 × 7 × 11)/(2 × 32 × 5 × 72) = - ((22 × 5 × 7 × 11) : (2 × 5 × 7))/((2 × 32 × 5 × 72) : (2 × 5 × 7)) = - 22/63
Der Bruch: 2.185/1.541
- 2.185 = 5 × 19 × 23
- 1.541 = 23 × 67
- ggT (2.185; 1.541) = 23
2.185/1.541 = (2.185 : 23)/(1.541 : 23) = 95/67
- Wir hätten den Bruch kürzen können, ohne den GCF zu berechnen. Zerlegen Sie einfach Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie die gemeinsamen.
2.185/1.541 = (5 × 19 × 23)/(23 × 67) = ((5 × 19 × 23) : 23)/((23 × 67) : 23) = 95/67
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.540/4.410 + 2.185/1.541 =
- 22/63 + 95/67
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 95/67
95 : 67 = 1 und der Rest = 28 ⇒ 95 = 1 × 67 + 28
95/67 = (1 × 67 + 28)/67 = (1 × 67)/67 + 28/67 = 1 + 28/67
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 22/63 + 95/67 =
- 22/63 + 1 + 28/67 =
1 - 22/63 + 28/67
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
63 = 32 × 7
67 ist eine Primzahl
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (63; 67) = 32 × 7 × 67 = 4.221
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 22/63 ⟶ 4.221 : 63 = (32 × 7 × 67) : (32 × 7) = 67
28/67 ⟶ 4.221 : 67 = (32 × 7 × 67) : 67 = 63
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
1 - 22/63 + 28/67 =
1 - (67 × 22)/(67 × 63) + (63 × 28)/(63 × 67) =
1 - 1.474/4.221 + 1.764/4.221 =
1 + ( - 1.474 + 1.764)/4.221 =
1 + 290/4.221
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
290/4.221 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 290 = 2 × 5 × 29
- 4.221 = 32 × 7 × 67
- ggT (2 × 5 × 29; 32 × 7 × 67) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
1 + 290/4.221 = 1 290/4.221
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
1 + 290/4.221 =
(1 × 4.221)/4.221 + 290/4.221 =
(1 × 4.221 + 290)/4.221 =
4.511/4.221
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
1 + 290/4.221 =
1 + 290 : 4.221 ≈
1,068704098555 ≈
1,07
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.