- 1.334/4.137 + 1.954/1.338 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 1.334/4.137 + 1.954/1.338 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 1.334/4.137
- 1.334/4.137 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 1.334 = 2 × 23 × 29
- 4.137 = 3 × 7 × 197
- ggT (2 × 23 × 29; 3 × 7 × 197) = 1
Der Bruch: 1.954/1.338
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 1.954 = 2 × 977
- 1.338 = 2 × 3 × 223
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (1.954; 1.338) = 2
1.954/1.338 = (1.954 : 2)/(1.338 : 2) = 977/669
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
1.954/1.338 = (2 × 977)/(2 × 3 × 223) = ((2 × 977) : 2)/((2 × 3 × 223) : 2) = 977/669
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.334/4.137 + 1.954/1.338 =
- 1.334/4.137 + 977/669
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 977/669
977 : 669 = 1 und der Rest = 308 ⇒ 977 = 1 × 669 + 308
977/669 = (1 × 669 + 308)/669 = (1 × 669)/669 + 308/669 = 1 + 308/669
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.334/4.137 + 977/669 =
- 1.334/4.137 + 1 + 308/669 =
1 - 1.334/4.137 + 308/669
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
4.137 = 3 × 7 × 197
669 = 3 × 223
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (4.137; 669) = 3 × 7 × 197 × 223 = 922.551
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 1.334/4.137 ⟶ 922.551 : 4.137 = (3 × 7 × 197 × 223) : (3 × 7 × 197) = 223
308/669 ⟶ 922.551 : 669 = (3 × 7 × 197 × 223) : (3 × 223) = 1.379
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
1 - 1.334/4.137 + 308/669 =
1 - (223 × 1.334)/(223 × 4.137) + (1.379 × 308)/(1.379 × 669) =
1 - 297.482/922.551 + 424.732/922.551 =
1 + ( - 297.482 + 424.732)/922.551 =
1 + 127.250/922.551
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
127.250/922.551 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 127.250 = 2 × 53 × 509
- 922.551 = 3 × 7 × 197 × 223
- ggT (2 × 53 × 509; 3 × 7 × 197 × 223) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
1 + 127.250/922.551 = 1 127.250/922.551
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
1 + 127.250/922.551 =
(1 × 922.551)/922.551 + 127.250/922.551 =
(1 × 922.551 + 127.250)/922.551 =
1.049.801/922.551
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
1 + 127.250/922.551 =
1 + 127.250 : 922.551 ≈
1,137932753853 ≈
1,14
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.