- 130/85.715 + 144/113 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 130/85.715 + 144/113 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 130/85.715
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 130 = 2 × 5 × 13
- 85.715 = 5 × 7 × 31 × 79
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (130; 85.715) = 5
- 130/85.715 = - (130 : 5)/(85.715 : 5) = - 26/17.143
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 130/85.715 = - (2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 31 × 79) = - ((2 × 5 × 13) : 5)/((5 × 7 × 31 × 79) : 5) = - 26/17.143
Der Bruch: 144/113
144/113 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 144 = 24 × 32
- 113 ist eine Primzahl
- ggT (24 × 32; 113) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 130/85.715 + 144/113 =
- 26/17.143 + 144/113
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 144/113
144 : 113 = 1 und der Rest = 31 ⇒ 144 = 1 × 113 + 31
144/113 = (1 × 113 + 31)/113 = (1 × 113)/113 + 31/113 = 1 + 31/113
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 26/17.143 + 144/113 =
- 26/17.143 + 1 + 31/113 =
1 - 26/17.143 + 31/113
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
17.143 = 7 × 31 × 79
113 ist eine Primzahl
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (17.143; 113) = 7 × 31 × 79 × 113 = 1.937.159
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 26/17.143 ⟶ 1.937.159 : 17.143 = (7 × 31 × 79 × 113) : (7 × 31 × 79) = 113
31/113 ⟶ 1.937.159 : 113 = (7 × 31 × 79 × 113) : 113 = 17.143
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
1 - 26/17.143 + 31/113 =
1 - (113 × 26)/(113 × 17.143) + (17.143 × 31)/(17.143 × 113) =
1 - 2.938/1.937.159 + 531.433/1.937.159 =
1 + ( - 2.938 + 531.433)/1.937.159 =
1 + 528.495/1.937.159
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
528.495/1.937.159 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 528.495 = 3 × 5 × 11 × 3.203
- 1.937.159 = 7 × 31 × 79 × 113
- ggT (3 × 5 × 11 × 3.203; 7 × 31 × 79 × 113) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
1 + 528.495/1.937.159 = 1 528.495/1.937.159
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
1 + 528.495/1.937.159 =
(1 × 1.937.159)/1.937.159 + 528.495/1.937.159 =
(1 × 1.937.159 + 528.495)/1.937.159 =
2.465.654/1.937.159
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
1 + 528.495/1.937.159 =
1 + 528.495 : 1.937.159 ≈
1,272819629158 ≈
1,27
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.