- 1.014/3.678 + 1.492/989 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 1.014/3.678 + 1.492/989 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 1.014/3.678
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 1.014 = 2 × 3 × 132
- 3.678 = 2 × 3 × 613
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (1.014; 3.678) = 2 × 3 = 6
- 1.014/3.678 = - (1.014 : 6)/(3.678 : 6) = - 169/613
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
- 1.014/3.678 = - (2 × 3 × 132)/(2 × 3 × 613) = - ((2 × 3 × 132) : (2 × 3))/((2 × 3 × 613) : (2 × 3)) = - 169/613
Der Bruch: 1.492/989
1.492/989 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 1.492 = 22 × 373
- 989 = 23 × 43
- ggT (22 × 373; 23 × 43) = 1
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Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.014/3.678 + 1.492/989 =
- 169/613 + 1.492/989
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 1.492/989
1.492 : 989 = 1 und der Rest = 503 ⇒ 1.492 = 1 × 989 + 503
1.492/989 = (1 × 989 + 503)/989 = (1 × 989)/989 + 503/989 = 1 + 503/989
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 169/613 + 1.492/989 =
- 169/613 + 1 + 503/989 =
1 - 169/613 + 503/989
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
613 ist eine Primzahl
989 = 23 × 43
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (613; 989) = 23 × 43 × 613 = 606.257
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 169/613 ⟶ 606.257 : 613 = (23 × 43 × 613) : 613 = 989
503/989 ⟶ 606.257 : 989 = (23 × 43 × 613) : (23 × 43) = 613
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
1 - 169/613 + 503/989 =
1 - (989 × 169)/(989 × 613) + (613 × 503)/(613 × 989) =
1 - 167.141/606.257 + 308.339/606.257 =
1 + ( - 167.141 + 308.339)/606.257 =
1 + 141.198/606.257
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
141.198/606.257 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 141.198 = 2 × 3 × 101 × 233
- 606.257 = 23 × 43 × 613
- ggT (2 × 3 × 101 × 233; 23 × 43 × 613) = 1
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Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
1 + 141.198/606.257 = 1 141.198/606.257
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
1 + 141.198/606.257 =
(1 × 606.257)/606.257 + 141.198/606.257 =
(1 × 606.257 + 141.198)/606.257 =
747.455/606.257
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
1 + 141.198/606.257 =
1 + 141.198 : 606.257 ≈
1,232901228357 ≈
1,23
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.