- 1.002/1.511 + 964/1.599 + 997/1.558 + 1.005/1.558 = ? Subtrahieren gewöhnlicher Brüche, Online-Rechner. Subtraktionsoperation Schritt für Schritt erklärt
Subtraktion von Brüchen: - 1.002/1.511 + 964/1.599 + 997/1.558 + 1.005/1.558 = ?
Vereinfachen Sie die Operation
Diese Brüche haben den gleichen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner):
- Dies ist der einfachste und glücklichste Fall, wenn wir Brüche addieren oder subtrahieren müssen.
- Wir arbeiten nur mit ihren Zählern und behalten den gemeinsamen Nenner.
997/1.558 + 1.005/1.558 = 2.002/1.558
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.002/1.511 + 964/1.599 + 997/1.558 + 1.005/1.558 =
- 1.002/1.511 + 964/1.599 + 2.002/1.558
Kürzen Sie die Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung:
- Um einen Bruch auf seine Grunddarstellung zu kürzen: dividieren Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- * Warum versuchen wir die Brüche zu kürzen?
- Durch Verringern der Werte der Zähler und Nenner der Brüche sind die Berechnungen einfacher durchzuführen.
- Ein auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch hat den kleinstmöglichen Zähler und Nenner und kann nicht mehr gekürzt werden.
* * *
Der Bruch: - 1.002/1.511
- 1.002/1.511 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 1.002 = 2 × 3 × 167
- 1.511 ist eine Primzahl
- ggT (2 × 3 × 167; 1.511) = 1
Der Bruch: 964/1.599
964/1.599 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
- Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: 964 = 22 × 241
- 1.599 = 3 × 13 × 41
- ggT (22 × 241; 3 × 13 × 41) = 1
Der Bruch: 2.002/1.558
- Die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner:
- 2.002 = 2 × 7 × 11 × 13
- 1.558 = 2 × 19 × 41
- Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende gemeinsame Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem niedrigsten Exponenten (den niedrigsten Potenzen).
- ggT (2.002; 1.558) = 2
2.002/1.558 = (2.002 : 2)/(1.558 : 2) = 1.001/779
Eine andere Methode zum Kürzen des Bruchs:
- Ohne Berechnung des ggT: Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und eliminieren Sie alle gemeinsamen.
2.002/1.558 = (2 × 7 × 11 × 13)/(2 × 19 × 41) = ((2 × 7 × 11 × 13) : 2)/((2 × 19 × 41) : 2) = 1.001/779
Interner Link » Kürzen Sie Brüche auf ihre Grunddarstellung (auf ihre einfachste äquivalente Form), Online-Rechner
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.002/1.511 + 964/1.599 + 2.002/1.558 =
- 1.002/1.511 + 964/1.599 + 1.001/779
Wir schreiben die unechten Brüche um:
- Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
- Jeder unechte Bruch wird als ganze Zahl und als echter Bruch umgeschrieben, beide mit demselben Vorzeichen: Teile den Zähler durch den Nenner und notiere den Quotienten und den Rest der Division, wie unten gezeigt.
- Warum schreiben wir die unechten Brüche um?
- Indem der Wert des Zählers eines Bruchs verringert wird, werden die Berechnungen mit diesem Bruch einfacher durchzuführen.
Der Bruch: 1.001/779
1.001 : 779 = 1 und der Rest = 222 ⇒ 1.001 = 1 × 779 + 222
1.001/779 = (1 × 779 + 222)/779 = (1 × 779)/779 + 222/779 = 1 + 222/779
Schreiben Sie die äquivalente vereinfachte Operation neu:
- 1.002/1.511 + 964/1.599 + 1.001/779 =
- 1.002/1.511 + 964/1.599 + 1 + 222/779 =
1 - 1.002/1.511 + 964/1.599 + 222/779
Führen Sie die Rechenoperation mit den Brüchen durch.
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie gleiche Nenner haben (derselbe gemeinsame Nenner, Hauptnenner genannt).
- Um die Bruchoperation zu berechnen, müssen wir:
- 1) ihren gemeinsamen Nenner finden (Hauptnenner)
- 2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs
- 3) Bringen Sie sie dann auf den Hauptnenner, indem Sie die Brüche auf ihre äquivalenten Formen erweitern, die alle gleiche Nenner haben (derselbe Hauptnenner)
- * Der Hauptnenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgM) der Nenner der Brüche.
- Das kgV wird der Hauptnenner der Brüche sein, mit denen wir arbeiten.
1) Finde den gemeinsamen Nenner
Berechnen Sie das kgV der Nenner:
Die Primfaktorzerlegung der Nenner:
1.511 ist eine Primzahl
1.599 = 3 × 13 × 41
779 = 19 × 41
Multiplizieren Sie alle eindeutigen Primfaktoren: Wenn es sich wiederholende Primfaktoren gibt, nehmen wir sie nur einmal und nur diejenigen mit dem höchsten Exponenten (den höchsten Potenzen).
kgV (1.511; 1.599; 779) = 3 × 13 × 19 × 41 × 1.511 = 45.905.691
2) Berechnen Sie dann die Erweiterungszahl jedes Bruchs:
Teilen Sie das kgV durch den Nenner jedes Bruchs.
- 1.002/1.511 ⟶ 45.905.691 : 1.511 = (3 × 13 × 19 × 41 × 1.511) : 1.511 = 30.381
964/1.599 ⟶ 45.905.691 : 1.599 = (3 × 13 × 19 × 41 × 1.511) : (3 × 13 × 41) = 28.709
222/779 ⟶ 45.905.691 : 779 = (3 × 13 × 19 × 41 × 1.511) : (19 × 41) = 58.929
3) Brüche auf den Hauptnenner bringen:
- Erweitern Sie jeden Bruch: Multiplizieren Sie sowohl seinen Zähler als auch seinen Nenner mit der entsprechenden Erweiterungszahl, die in Schritt 2 oben berechnet wurde. Auf diese Weise haben alle Brüche gleiche Nenner (das ist der Hauptnenner).
- Behalten Sie dann den gemeinsamen Nenner bei und arbeiten Sie nur mit den Zählern der Brüche.
1 - 1.002/1.511 + 964/1.599 + 222/779 =
1 - (30.381 × 1.002)/(30.381 × 1.511) + (28.709 × 964)/(28.709 × 1.599) + (58.929 × 222)/(58.929 × 779) =
1 - 30.441.762/45.905.691 + 27.675.476/45.905.691 + 13.082.238/45.905.691 =
1 + ( - 30.441.762 + 27.675.476 + 13.082.238)/45.905.691 =
1 + 10.315.952/45.905.691
Kürze den Bruch auf seine Grunddarstellung:
10.315.952/45.905.691 ist bereits auf seine Grunddarstellung gekürzt.
Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
- Die Primfaktorzerlegung der Zahlen:
- 10.315.952 = 24 × 644.747
- 45.905.691 = 3 × 13 × 19 × 41 × 1.511
- ggT (24 × 644.747; 3 × 13 × 19 × 41 × 1.511) = 1
Interner Link » Kürzen Sie Brüche auf ihre Grunddarstellung (auf ihre einfachste äquivalente Form), Online-Rechner
Schreiben Sie das Zwischenergebnis um
Als gemischte Zahl (auch gemischter Bruch genannt):
- Eine gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, beide mit demselben Vorzeichen.
- Ein echter Bruch: Der Wert des Zählers ist kleiner als der Wert des Nenners.
1 + 10.315.952/45.905.691 = 1 10.315.952/45.905.691
Als positiven unechten Bruch:
(der Zähler >= der Nenner)
Ein unechter Bruch: Der Wert des Zählers ist größer oder gleich dem Wert des Nenners.
1 + 10.315.952/45.905.691 =
(1 × 45.905.691)/45.905.691 + 10.315.952/45.905.691 =
(1 × 45.905.691 + 10.315.952)/45.905.691 =
56.221.643/45.905.691
Als Dezimalzahl:
Teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner ohne Rest, wie unten gezeigt:
1 + 10.315.952/45.905.691 =
1 + 10.315.952 : 45.905.691 ≈
1,224720547176 ≈
1,22
In Prozent:
- Ein Prozentwert p% ist gleich dem Bruch: p/100, für eine beliebige Dezimalzahl p. Also müssen wir die Form der oben erhaltenen Zahl ändern, um einen Nenner von 100 zu haben.
- Multiplizieren Sie dazu die Zahl mit dem Bruch 100/100.
- Der Wert des Bruchs 100/100 = 1, also durch die Multiplikation der Zahl mit diesem Bruch ändert sich das Ergebnis nicht, nur die Form.